Χάος και Τύχη

Η διάκριση μεταξύ χάους και τύχης έχει φιλοσοφικές προεκτάσεις. Τι είναι τυχαίο σε αυτή τη ζωή και τι φυσικός νόμος;
Διαβάστε το άρθρο του ακαδημαϊκού Γ. Κοντόπουλου που προσεγγίζει τις δύσκολες έννοιες: Χάος και Τύχη!



1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Πολλές φορές τα χαοτικά φαινόμενα θεωρούνται από τους μη ειδικούς, ως τυχαία. Εν τούτοις υπάρχει μια βασική διαφορά μεταξύ χάους και τύχης. Το χάος είναι ντετερμινιστικό, δηλαδή διέπεται από αυστηρούς νόμους, ενώ η τύχη δεν υπόκειται σε γνωστούς αυστηρούς νόμους. Ακριβέστερα η κίνηση κάθε σωματίου σε ένα χαοτικό σύστημα είναι απολύτως καθορισμένη από ορισμένους φυσικούς νόμους, ενώ σε ένα τυχαίο σύστημα η κίνηση κάθε σωματίου είναι απρόβλεπτη, μέσα πάντως σε ορισμένα όρια.

Στα τυχαία συστήματα μόνον η στατιστική συμπεριφορά πολλών σωματίων ακολουθεί ορισμένες κανονικότητες. Π.χ. τα σωμάτια αυτά έχουν μία κατανομή Gauss. 'Ένα τέτοιο παράδειγμα τύχης είναι η κίνηση Brown, σωματίων σκόνης μέσα σε ένα υγρό. Ή κίνηση κάθε σωματίου είναι ακαθόριστη, αλλά γίνεται με μικρά βήματα, ενώ το σύνολο των σωματίων κινείται βραδέως προς τον πυθμένα (αν τα σωμάτια της σκόνης έχουν ειδικό βάρος αρκετά μεγαλύτερο του ειδικού βάρους του υγρού).

Μια μορφή τύχης είναι ο «θόρυβος», δηλαδή μικρές άτακτες εκτροπές από την μέση συμπεριφορά ενός συστήματος. Οι εκτροπές αυτές οφείλονται σε κρούσεις με τα άτομα του περιβάλλοντος (π.χ. τα μόρια του περιβάλλοντος αέρος ή υγρού), ή ακόμη σε άτακτες αλληλεπιδράσεις με τα όργανα μετρήσεως.

Αλλά υπάρχουν πραγματικά τυχαία φαινόμενα; Μήπως κάθε τυχαίο φαινόμενο είναι στην πραγματικότητα καθορισμένο και απλώς δεν γνωρίζουμε τις διάφορες επιδράσεις που υπάρχουν σε κάθε σωμάτιο από το περιβάλλον; Π.χ. μπορεί να ισχυρισθεί κανείς ότι η κίνηση Brown κάθε σωματίου θα ήταν δυνατόν να προβλεφθεί με ακρίβεια αν γνωρίζαμε τις θέσεις και τις ταχύτητες των μορίων του υγρού που περιβάλλει το σωμάτιο και τα οποία μόρια συγκρούονται εκάστοτε με το υπ' όψιν σωμάτιο.

Εν τούτοις ακόμη και σε ένα απολύτως ντετερμινιστικό σύστημα υπάρχουν σημεία ασταθούς ισορροπίας ή ασταθούς κινήσεως. Aν ένα μολύβι ισορροπεί κάθετα πάνω στη μύτη του ( η οποία θεωρείται ένα σημείο), τότε η παραμικρή επίδραση του περιβάλλοντος, το βήξιμο ενός προσώπου ή ο τρανταγμός ενός αυτοκινήτου που περνά από το δρόμο είναι δυνατόν να προκαλέσει εκτροπή προς τα δεξιά ή προς τα αριστερά.

Ακόμη και αν είχαμε πλήρη έλεγχο του περιβάλλοντος γύρω από το μολύβι που βρίσκεται σε ασταθή ισορροπία θα μπορούσε ένα πολύ μακρινό ανεπαίσθητο γεγονός, ένα αυτοκίνητο στην Ιαπωνία ή έστω μία έκρηξη αστέρος σε ένα μακρινό γαλαξία, να προκαλέσει εκτροπή προς τη μία ή την άλλη κατεύθυνση.

Μόνον αν γνωρίζαμε τις θέσεις και τις κινήσεις όλων των σωματίων του Σύμπαντος θα μπορούσαμε να προβλέψουμε απόλυτα την κίνηση του μολυβιού από την ασταθή του θέση. Αλλά αυτή η γνώση μας θα ήταν αρκετή για να επιδράσει στις κινήσεις μας και εμμέσως να προκαλέσει ανάλογη εκτροπή του μολυβιού. Εξάλλου οι πολύ μικρές επιδράσεις, ατομικής κλίμακας, υπάγονται στη θεμελιώδη κβαντική απροσδιοριστία Heisenberg, η οποία δεν επιτρέπει καν την απόλυτη γνώση των θέσεων και ταχυτήτων όλων των σωματίων του Σύμπαντος.

Επομένως όπου υπάρχουν ασταθείς καταστάσεις (ασταθείς ισορροπίες ή κινήσεις) υπάρχει περιθώριο τύχης, το οποίο δεν μπορεί με κανένα τρόπο να εξουδετερωθεί.

Από το άλλο μέρος η έννοια του χάους συνδέεται με την αδυναμία προβλέψεως, μετά από μεγάλα χρονικά διαστήματα. Συγκεκριμένα μία τροχιά ενός σωματίου λέγεται χαοτική αν η απόσταση ενός άλλου σωματίου, που αρχικά είναι πολύ κοντά στο πρώτο, αυξάνει εκθετικά με τον χρόνο. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι υπάρχει μία ευαίσθητη εξάρτηση των κινήσεων από τις αρχικές συνθήκες. Η απομάκρυνση ξ δίνεται κατά μέσον όρο από ένα τύπο της μορφής
ξ = ξ0e^at (1)
όπου ξο είναι η αρχική απόσταση και t ο χρόνος. Ο συντελεστής a ονομάζεται «χαρακτηριστικός αριθμός Lyapunov» και στο χάος είναι θετικός.

Όταν η απομάκρυνση δύο γειτονικών τροχιών είναι μικρότερη, π.χ. γραμμική στο χρόνο, τότε αποδεικνύεται ότι ο χαρακτηριστικός αριθμός Lyapunov είναι μηδέν και η κίνηση ονομάζεται οργανωμένη. Π.χ. αν ένας αστροναύτης βγει έξω από το δορυφόρο του και αποκοπεί από αυτόν θα αρχίσει να απομακρύνεται, αλλά με γραμμικό ρυθμό. Η απόστασή του από το δορυφόρο θα γίνει κάποτε πολύ μεγάλη, αλλά η τροχιά του αστροναύτη βρίσκεται πολύ κοντά στην τροχιά του δορυφόρου. Έτσι, αν οι περίοδοι των δύο τροχιών είναι Τ και Τ + δΤ, μετά μία περιστροφή η απόστασή τους θα είναι 2π (δΤ/Τ), (σε γωνία ως προς τη γη) και μετά από Ν = Τ/δΤ περιστροφές ο αστροναύτης θα έχει κάνει μία πλήρη περιστροφή ως προς τη γη περισσότερη (ή λιγότερη) από ότι ο δορυφόρος και θα βρεθεί πάλι κοντά στον δορυφόρο του.

Δυναμικά συστήματα ονομάζονται σύνολα σωμάτων που οι κινήσεις τους διέπονται από ορισμένους φυσικούς νόμους, Π.χ. το νόμο της βαρύτητας, τους νόμους των ηλεκτρομαγνητικών δυνάμεων, ή άλλους νόμους που καθορίζονται από τις εξισώσεις της κινήσεως.

Όταν σε ένα δυναμικό σύστημα όλες οι κινήσεις είναι οργανωμένες τότε το σύστημα λέγεται ολοκληρώσιμο. Τα μη ολοκληρώσιμα συστήματα διαιρούνται σε διάφορες κατηγορίες. Αν σε ένα περατωμένο σύστημα (δηλαδή ένα σύστημα που δεν εκτείνεται στο άπειρο) κάθε κίνηση περνάει άπειρες φορές κοντά από κάθε σημείο του διαθέσιμου χώρου τότε το σύστημα λέγεται εργοδικό. Αν σε ένα εργοδικό σύστημα δύο γειτονικές τροχιές απομακρύνονται πολύ μεταξύ τους το σύστημα λέγεται αναμειγνυόμενο. Και αν τέλος ο ρυθμός απομακρύνσεως γειτονικών τροχιών είναι εκθετικός στο χρόνο με χαρακτηριστικό αριθμό Lyapunov θετικό (μέσα σε ορισμένα όρια) το σύστημα λέγεται Anosov.

Ένα κλασικό παράδειγμα συστήματος Anosov είναι ο «μετασχηματισμός του φούρναρη» που δίνεται από τις εξισώσεις:
x' = 2x
(Modulo 1) (2)
y' = y/2 +[2x]/2
όπου [2x] είναι ο μεγαλύτερος ακέραιος που είναι μικρότερος του 2χ. Το modulo 1 σημαίνει ότι αν ένας αριθμός γίνει μεγαλύτερος του 1 τότε αφαιρούμε μία μονάδα, ώστε να γίνει πάλι μικρότερος του 1.

Ένα τετράγωνο (1x1) με τον μετασχηματισμό αυτό γίνεται αρχικά ορθογώνιο (2x1/2). Κατόπιν όλα τα 2x τα μεγαλύτερα του 1 μικραίνουν κατά 1, ενώ τα αντίστοιχα y αυξάνουν κατά 1/2 (δεδομένου ότι τότε το [2x]=1). Δηλαδή είναι σαν να πλάθει ο φούρναρης ένα τετράγωνο καρβέλι ψωμί σε ένα παραλληλόγραμμο που έχει συνολικά διαστάσεις (2x1/2). Κατόπιν κόβει στη μέση το ψωμί και βάζει το δεξιό κομμάτι πάνω από το αριστερό ώστε να ξαναγίνει το ψωμί τετράγωνο. Μετά από μερικές επαναλήψεις του μετασχηματισμού αυτού τα διάφορα σημεία του αρχικού τετραγώνου αναμειγνύονται πλήρως. Αποδεικνύεται ότι ο χαρακτηριστικός αριθμός Lyapunov είναι 2, δηλαδή θετικός και σταθερός, επομένως το σύστημα αυτό είναι Anosov. Ένα τέτοιο σύστημα είναι από τα πιο χαοτικά που υπάρχουν στα μαθηματικά και στη φυσική.

Παλαιότερα ενομίζετο ότι ένα σύστημα είναι ή ολοκληρώσιμο ή εργοδικό. Σήμερα όμως είναι γνωστό ότι εν γένει ένα σύστημα έχει και οργανωμένες και χαοτικές κινήσεις, δηλαδή έχει περιοχές με χαρακτηριστικό αριθμό Lyapunov μηδέν και άλλες περιοχές με θετικό χαρακτηριστικό αριθμό Lyapunov. Δηλαδή εν γένει τα δυναμικά συστήματα έχουν συγχρόνως περιοχές τάξεως και χάους.

Η τάξη και το χάος οφείλονται στους ίδιους φυσικούς νόμους, δηλαδή υπάγονται εξ ίσου στον ντετερμινισμό. Η τύχη από το άλλο μέρος δεν επιτρέπει την πρόβλεψη ούτε του πρώτου βήματος μετά την αρχική θέση. Εάν όμως υπάρχει και μία αρχική ταχύτητα τότε τα γειτονικά σωμάτια κινούνται κατά μέσον όρο με αυτή την αρχική ταχύτητα, αλλά τώρα οι εκτροπές από αυτή την ταχύτητα, που αποτελούν τον θόρυβο, είναι τυχαίες και εντελώς απρόβλεπτες. Μπορούμε να πούμε ότι ο χαρακτηριστικός αριθμός Lyapunov των τυχαίων τροχιών είναι άπειρος.

Παρόλο ότι η διάκριση χαοτικών και τυχαίων τροχιών είναι σαφής, εν τούτοις οι χαοτικές τροχιές μετά από μεγάλο χρόνο είναι απρόβλεπτες και κατά συνέπεια, η συμπεριφορά τους είναι φαινομενικά τυχαία. Έτσι μερικοί κάνουν το λάθος να ταυτίζουν το χάος με την τύχη, τουλάχιστον όσον άφορα στις πρακτικές εφαρμογές τους.

Για το λόγο αυτό είναι ενδιαφέρον να δούμε ορισμένες χαρακτηριστικές διαφορές μεταξύ χάους και τύχης που αφορούν τις στατιστικές τους ιδιότητες που έχουν αναμφισβήτητα πρακτική σημασία. Τα κατωτέρω παραδείγματα αναφέρονται σε συστήματα δύο διαστάσεων.

Στην περίπτωση ενός δυναμικού συστήματος δύο βαθμών ελευθερίας έχουμε δύο βασικές μεταβλητές, έστω x και y. Έχουμε όμως ακόμη τις αντίστοιχες ταχύτητες x = dx/dt και y = dy/dt, δηλαδή συνολικά 4 μεταβλητές, οι οποίες δίνονται από 4 διαφορικές εξισώσεις 1ης τάξεως. Θεωρώντας ότι το σύστημα είναι συντηρητικό (δες §2) εκφράζουμε την ενέργεια Ε σαν συνάρτηση των τεσσάρων μεταβλητών x, y, x και y. Δηλαδή για κάθε τροχιά (που κατ' ανάγκην έχει σταθερή ενέργεια) οι ανεξάρτητες μεταβλητές είναι τρεις έστω οι x, y, x. Αν τώρα πάρουμε μία τομή όλων των τροχιών από μία «επιφάνεια τομής» y = 0 τότε τα σημεία τομής ορίζουν μία απεικόνιση (x, y)  (x', y'). Δηλαδή μία τροχιά που αρχίζει στο σημείο (x, y) τέμνει πάλι την επιφάνεια τομής σε ένα σημείο (χ', y') που θεωρείται η εικόνα του (x, y) στην απεικόνιση. Μια τέτοια απεικόνιση ήταν η «απεικόνιση του φούρναρη» που είδαμε πιο πάνω. Πιο κάτω θα δούμε και άλλες απεικονίσεις. Όλες αυτές οι απεικονίσεις οι οποίες είναι δύο διαστάσεων όταν το αρχικό σύστημα (x, y) έχει δύο διαστάσεις λέγονται «απεικονίσεις Poincare».

 

2. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΕ ΦΑΙΝΟΜΕΝΙΚΕΣ ΑΠΩΛΕΙΕΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

Τα δυναμικά συστήματα είναι δυνατόν να διαιρεθούν σε συντηρητικά συστήματα (cοnservative) και σε συστήματα με απώλειες (dissipative). Στα συντηρητικά συστήματα η ολική ενέργεια κάθε σωματίου διατηρείται, ενώ στα συστήματα με απώλειες χάνεται βαθμηδόν.

Συνέπεια αυτού είναι ότι τα συστήματα με απώλειες έχουν ελκυστές (attractοrs). Μία απλούστατη μορφή ελκυστού είναι ένα σημείο, εις το όποιον καταλήγει κάθε κινούμενο σωμάτιο όταν χάσει την ενέργειά του. Ένα τέτοιο παράδειγμα είναι ένα εκκρεμές το οποίον χάνει ενέργεια λόγω τριβών. Τελικά το εκκρεμές σταματά. Ένα δεύτερο είδος ελκυστού είναι ένας «οριακός κύκλος» δηλαδή μία γραμμή. Σωμάτια εντός αυτού του κύκλου πλησιάζουν τον κύκλο ασυμπτωτικά εκ των έσω, ενώ σωμάτια εκτός του κύκλου πλησιάζουν τον ίδιο κύκλο ασυμπτωτικά εκ των έξω.

Τέλος μία ιδιάζουσα μορφή ελκυστού είναι ο «παράδοξος ελκυστής», ο οποίος αποτελείται από άπειρες οριακές γραμμές. Ένα σωμάτιο εκτός των γραμμών αυτών πλησιάζει (ασυμπτωτικά) διαδοχικά διάφορες γραμμές του ελκυστού με ορισμένη κανονικότητα. Ο ελκυστής είναι φράκταλ (δηλαδή έχει παρόμοια δομή σε ολοένα μικρότερες κλίμακες), και η κίνηση από την μία γραμμή στην άλλη δεν σταματά ποτέ.

Τα συντηρητικά συστήματα δεν έχουν ελκυστές. Αν όμως το σύστημα έχει λίγο θόρυβο (τέτοιος θόρυβος υπάρχει πάντοτε λόγω της πεπερασμένης ακριβείας των αριθμητικών υπολογισμών σε έναν υπολογιστή) τότε είναι δυνατόν να εμφανισθεί ένας ελκυστής εις τον οποίον θα κατατείνει κάθε κίνηση μετά από μεγάλο χρόνο.

Το φαινόμενο αυτό παρουσιάζεται σε αριθμητικούς υπολογισμούς συντηρητικών συστημάτων και είναι πολύ διαφορετικό από αυτό που αναμένει κανείς για καθαρώς συντηρητικά συστήματα. Είναι προφανές ότι αυτό οφείλεται στον αριθμητικό θόρυβο του υπολογιστού, δηλαδή σε ένα τυχαίο φαινόμενο.

3. ΦΑΙΝΟΜΕΝΙΚΟ ΧΑΟΣ ΣΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΙΜΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Όπως αναφέραμε προηγουμένως στα ολοκληρώσιμα συστήματα δεν υπάρχει χάος. Εν τούτοις όταν λύσουμε αριθμητικά τις διαφορικές εξισώσεις κινήσεως ολοκληρώσιμων συστημάτων, διαπιστώνουμε την ύπαρξη ορισμένων περιοχών χάους κοντά σε ασταθείς περιοδικές τροχιές. Αυτές οι περιοχές είναι μικρές, αλλά έχουν όλα τα χαρακτηριστικά των χαοτικών περιοχόντων μη ολοκληρώσιμων συστημάτων. Συγκεκριμένα εκεί υπάρχουν ευσταθείς περιοδικές τροχιές ανωτέρας τάξεως, και παρουσιάζονται γύρω τους μικρές νησίδες ευσταθείας, ενώ το χάος παρουσιάζεται πλησίον των ασταθών περιοδικών τροχιών.

Επειδή γνωρίζουμε ότι τα ολοκληρώσιμα συστήματα δεν έχουν χάος, δεν υπάρχει αμφιβολία ότι το φαινομενικό χάος που παρατηρούμε οφείλεται στην περιορισμένη ακρίβεια των υπολογισμών μας. Αυτό επιβεβαιώνεται αν αυξήσουμε την ακρίβεια των υπολογισμών μας. Τότε οι περιοχές του χάους μικραίνουν, αλλά δεν εξαφανίζονται ακριβώς.

Το φαινόμενο αυτό του φαινομενικού χάους δεν μας επιτρέπει να αποδείξουμε αριθμητικά ότι ένα δεδομένο σύστημα είναι ολοκληρώσιμο ή όχι. Μόνον αν το χάος είναι πολύ μικρό έχουμε ενδείξεις (αλλά όχι αποδείξεις) περί ολοκληρωσιμότητας του συστήματος. Η απόδειξη θα δοθεί μόνον αν ευρεθεί αναλυτικά ένα νέο ολοκλήρωμα της κινήσεως.

 

4. ΑΥΞΗΣΗ ΤΗΣ ΔΙΑΧΥΣΕΩΣ ΛΟΓΩ ΘΟΡΥΒΟΥ

Στις οργανωμένες περιοχές ενός συντηρητικού συστήματος δύο διαστάσεων υπάρχουν πολλές κλειστές «αμετάβλητες καμπύλες» (Σχ. Ια), δηλαδή κλειστές καμπύλες των οποίων τα σημεία απεικονίζονται σε άλλα σημεία της ίδιας καμπύλης. Εκτός από τις κλειστές αυτές καμπύλες υπάρχουν και αμετάβλητες καμπύλες που αποτελούνται από έναν αριθμό «νησίδων» δηλαδή κλειστών καμπυλών γύρω από τα κέντρα των νησίδων, που παριστάνουν μία ευσταθή περιοδική τροχιά πολλαπλότητας m. Στο Σχ. 1α υπάρχουν κλειστές αμετά6λητες καμπύλες γύρω από το κέντρο Ο και τριπλές νησίδες. Μεταξύ των νησίδων υπάρχουν διάσπαρτα σημεία που χαρακτηρίζουν το χάος. Επίσης έξω από τις κλειστές αμετά6λητες καμπύλες υπάρχει πολύ χάος, η λεγομένη «μεγάλη χαοτική θάλασσα».

Το χάος μεταξύ των νησίδων δεν επικοινωνεί με τη μεγάλη χαοτική θάλασσα. Αποδεικνύεται ότι τα σημεία του εσωτερικού χάους δεν μπορούν να διασχίσουν τις κλειστές αμετάβλητες καμπύλες και να φθάσουν στη μεγάλη χαοτική θάλασσα. Εντούτοις καθώς η ενέργεια Ε των τροχιών αυξάνει υπάρχει μία κρίσιμη τιμή Ε = Ecrit , τέτοια ώστε για μεγαλύτερες τιμές όλες οι κλειστές καμπύλες που περιβάλλουν το εσωτερικό χάος γύρω από τις τρεις νησίδες «σπάζουν», δηλαδή δημιουργούν άπειρες οπές από τις οποίες το εσωτερικό χάος επικοινωνεί με την εξωτερική μεγάλη χαοτική θάλασσα (Σχ. 1a. Έτσι ένα σημείο μεταξύ των τριών νησίδων μετά αρκετές επαναλήψεις της απεικονίσεως μπορεί να βρεθεί πολύ μακριά από το κέντρο. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται «διάχυση» και έχει πολλά κοινά χαρακτηριστικά με άλλα φαινόμενα διαχύσεως στην φύση.


Σχήμα 1α

Σχήμα 1β

Όταν η ενέργεια Ε είναι λίγο μόνο μεγαλύτερη της κρίσιμης τιμής Ecrit, η διάχυση είναι βραδεία. Π.χ. έχουμε περιπτώσεις όπου απαιτούνται εκατομμύρια διαδοχικών απεικονίσεων ώστε ένα εσωτερικό σημείο να φθάσει στον εξωτερικό χώρο. Αν όμως υπάρχει επιπλέον ένας τυχαίος θόρυβος, το φαινόμενο επιταχύνεται κατά πολύ, ενδεχομένως κατά 1.000 ή 1.000.000 φορές. Ο λόγος είναι ο εξής. Κοντά στις κλειστές αμετάβλητες καμπύλες του Σχ. 1α υπάρχουν πολλές (στην πραγματικότητα άπειρες) ασταθείς περιοδικές τροχιές. Από κάθε περιοδική τροχιά ξεκινούν δύο καμπύλες προς αντίθετες διευθύνσεις οι οποίες ονομάζονται «ασταθείς ασυμπτωτικές καμπύλες». Αυτές είναι στην πραγματικότητα αμετάβλητες καμπύλες (δηλαδή τα σημεία πάνω σ' αυτές τις καμπύλες απεικονίζονται σε σημεία πάνω στις ίδιες καμπύλες σε μεγαλύτερη απόσταση), αλλά δεν είναι κλειστές όπως οι συνήθεις αμετάβλητες καμπύλες. Πάντως οι καμπύλες αυτές όταν η ενέργεια Ε είναι μικρότερη της κρισίμου Ecrit περιβάλλουν άπειρες φορές το κέντρο Ο και παραμένουν πολύ κοντά στην τελευταία προς τα μέσα) κλειστή αμετάβλητη καμπύλη του Σχ. 1α που περιβάλλει τις τρεις νησίδες.

Μία βασική ιδιότητα των ασταθών ασυμπτωτικών καμπυλών, και όλων των αμεταβλήτων καμπυλών είναι ότι δεν τέμνουν τον εαυτό τους, ούτε η μία την άλλη. Επομένως δεν είναι δυνατόν μια ασταθής ασυμπτωτική καμπύλη να τμήσει τις κλειστές αμετάβλητες καμπύλες του Σχ. 1α και να βγει έξω, στο χώρο της μεγάλης χαοτικής θάλασσας.

'Όταν όμως η ενέργεια Ε γίνει μεγαλύτερη του Εcrit οι εσωτερικές ασυμπτωτικές καμπύλες μετά από πολλές περιελίξεις (στροφές γύρω από το κέντρο Ο) περνούν από κάποια οπή και αφού κάνουν επιπλέον πολλές περιελίξεις τελικά απομακρύνονται σε μεγάλη απόσταση μέσα στην χαοτική θάλασσα. Όλα τα λοιπά σημεία του χάους μεταξύ των τριών νησίδων των Σχ. 1α και 10 ανήκουν σε ανοικτές αμετάβλητες καμπύλες, που δεν μπορούν να τμήσουν ούτε τις κλειστές ούτε τις ανοικτές καμπύλες που περιγράψαμε. Αναγκαστικά οι καμπύλες αυτές βρίσκονται μέσα από τις ασυμπτωτικές καμπύλες που αναφέραμε και μόνο ακολουθώντας εκ του πλησίον τις καμπύλες αυτές μπορούν τελικά να βγουν έξω από τις οπές προς την χαοτική θάλασσα.

Από το άλλο μέρος ο θόρυβος, δηλαδή οι, μικρές τυχαίες μεταβολές ενός σημείου που ξεκινά εντός των κλειστών αμεταβλήτων καμπυλών, δεν αναγνωρίζει ούτε αμετάβλητες καμπύλες ούτε ασυμπτωτικές καμπύλες και μπορεί να τις διασχίσει κατά τυχαίο τρόπο. Εν τούτοις η πιθανότητα να διασχίσει ένα σημαντικό πάχος από τέτοιες καμπύλες είναι εξαιρετικά μικρή. Μόνον αν το πάχος του συνόλου των καμπυλών είναι πολύ μικρό η πιθανότητα μία τυχαία μεταβολή να το διασχίσει παύει να είναι αμελητέα.

Αυτό γίνεται όταν ένα σημείο της απεικονίσεως φθάσει πολύ κοντά σε ένα χάσμα των αρχικά κλειστών αμετάβλητων καμπυλών. Οι διάφορες ασυμπτωτικές καμπύλες δεν διασχίζουν το χάσμα αυτό κάθετα προς τα έξω αλλά σχεδόν εφαπτομενικά. Η ακριβής απεικόνιση ενός εσωτερικού σημείου αναγκάζει τις εικόνες του να ακολουθήσουν εκ του πλησίον μία από αυτές τις σχεδόν εφαπτομενικές καμπύλες. Μία τυχαία όμως μεταβολή μπορεί να φέρει κάποια εικόνα του σημείου αυτού αμέσως προς τα έξω, έτσι ώστε οι υπόλοιπες εικόνες του να βρίσκονται πλέον στον εξωτερικό χώρο της μεγάλης χαοτικής θάλασσας. Με τον τρόπο αυτό επιταχύνεται η διάχυση των χαοτικών τροχιών κατά πολύ.

Η διάχυση προς τα έξω μέσω των οπών των αρχικά (για E < Ecrit) κλειστών αμεταβλήτων καμπυλών απαιτεί την ύπαρξη χαοτικών τροχιών πλησίον των οπών. Αλλά η επιπλέον ύπαρξη τυχαίου θορύβου επιταχύνει την διάχυση αυτή σημαντικά.

 

5. ΔΙΑΦΟΡΑ ΤΩΝ ΦΑΣΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΧΑΟΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΥΧΑΙΩΝ ΤΡΟΧΙΩΝ

Ερχόμαστε τώρα στην πιο σημαντική διάκριση μεταξύ των χαοτικών και των τυχαίων τροχιών.

Όταν ένα σημείο x(x,y) μίας απεικονίσεως (όπου το x παριστάνει διάνυσμα με προβολές χ και y) απεικονίζεται σε ένα σημείο x΄ (x΄, y΄), τότε ένα γειτονικό σημείο x + ξ απεικονίζεται σε ένα σημείο x΄ + ξ΄. Το μέτρο του ξ΄ γράφεται ξ και το ποσόν
a = log (ξ΄ /ξ) (3)
λέγεται «αριθμός διαστολής». Ο αριθμός αυτός είναι ο χαρακτηριστικός αριθμός Lyapunov μετά μία μόνον απεικόνιση. Ο μέσος όρος του a είναι ο γνωστός χαρακτηριστικός αριθμός Lyapunov. Η κατανομή των επί μέρους τιμών του a γύρω από την μέση τιμή αποτελεί το φάσμα των αριθμών διαστολής. Έχει διαπιστωθεί ότι το φάσμα των αριθμών διαστολής για διάφορα x και ξ στην ίδια χαοτική περιοχή είναι αμετάβλητο, δηλαδή ανεξάρτητο από το x και το ξ.

Ένα άλλου τύπου φάσμα ορίζεται από την κατανομή των γωνιών φ του διανύσματος ξ με τον άξονα Χ. Οι γωνίες αυτές δεν είναι τυχαίες, αλλά ακολουθούν μία κατανομή, η οποία πάλι είναι ανεξάρτητη από το x και από το ξ.

Τα δύο αυτά φάσματα λέγονται «δυναμικά φάσματα» και χαρακτηρίζουν τις στατιστικές ιδιότητες ενός δυναμικού συστήματος πολύ καλύτερα από τον χαρακτηριστικό αριθμό Lyapunov.

Σαν παράδειγμα θεωρούμε δύο απεικονίσεις με μεγάλο βαθμό χάους.

1) Την τυπική απεικόνιση
x΄ = x + y΄
(Modulo 1) (4)
y΄ = y + (Κ/2π) sin 2πx
και

2) την απεικόνιση του Henon
X΄ = 1 – Κ΄ x2 - y
(Modulo 1) (5)
y΄ = x

Οι σταθερές Κ και Κ΄ χαρακτηρίζουν την μη γραμμικότητα των δύο συστημάτων. Aν Κ= 0 ή Κ΄= 0, το αντίστοιχο σύστημα είναι γραμμικό και δεν έχει καθόλου χάος. Όταν το Κ ή το Κ΄ είναι σχετικά μεγάλο (μεγαλύτερο του 5) τότε ο βαθμός του χάους είναι μεγάλος. Π.χ. όταν το Κ = 7 το σύστημα (4) έχει χαρακτηριστικό αριθμό Lyapunον LCN = 1.276 και αυτός ο αριθμός είναι ο ίδιος για σχεδόν κάθε αρχικό σημείο x στο τετράγωνο (1x1). Υπενθυμίζουμε ότι το modulo 1 σημαίνει πως όταν το x ή το y γίνει μεγαλύτερο του 1 αφαιρούνται μονάδες ώστε να επαναφέρουν το σημείο (Χ, Υ) στο τετράγωνο (1x1).

Αν επιλέξουμε το Κ΄ της απεικονίσεως του Henon να είναι Κ΄=5.321, τότε ο χαρακτηριστικός αριθμός Lyapunov της δευτέρας απεικονίσεως είναι πάλι LCΝ = 1.276. Αν πάρουμε τυχαία αρχικά σημεία στις απεικονίσεις (1) και (2) η κατανομή 10000 εικόνων τους δίνεται στα Σχήματα 2α, 2β και φαίνεται πανομοιότυπη. Aν μάλιστα συγκρίνουμε τις δύο κατανομές αυτές με μία εντελώς τυχαία κατανομή σημείων (x,y) του τετραγώνου (1x1) θα δούμε ότι όλες οι κατανομές είναι οι ίδιες με μεγάλη προσέγγιση.

Όμως οι δύο κατανομές (4) και (5) δεν χαρακτηρίζονται μόνο από την πυκνότητα των σημείων τους ( που δίνεται στα Σχ. 2α, 2β), ούτε μόνο από τον χαρακτηριστικό αριθμό Lyapunov, ο οποίος είναι ο ίδιος. Χαρακτηρίζονται κυρίως από τα δυναμικά φάσματά τους, δηλαδή τα φάσματα των αριθμών διαστολής (Σχ. 2γ, 2δ) και τα φάσματα των γωνιών (Σχ. 2ε, 2ζ). Τα φάσματα αυτά είναι πολύ διαφορετικά μεταξύ τους.

Παρατηρούμε ότι τα φάσματα 2γ, 2δ έχουν ως μέση τιμή το LCN = 1.276 δηλαδή την ίδια τιμή. Αλλά η κατανομή των αριθμών διαστολής a (των χαρακτηριστικών αριθμών Lyapunov μιας περιόδου) γύρω από την μέση τιμή είναι πολύ διαφορετική. Υπενθυμίζουμε ότι τα φάσματα αυτά είναι αμετάβλητα, δηλαδή ανεξάρτητα των αρχικών συνθηκών x και ξ.

Τα ίδια ισχύουν για τα φάσματα των γωνιών (Σχ. 2ε, 2ζ). Αυτά τα παραδείγματα αρκούν για να δείξουν ότι δύο φαινομενικά πανομοιότυπες κατανομές σημείων διαφέρουν βασικά στην εσωτερική δομή τους και ότι η κατανομή των πυκνοτήτων που δίνεται από τα Σχήματα 2α, 2β δεν είναι αρκετή για να περιγράψει τα συστήματα αυτά.

Εξ άλλου μία τυχαία κατανομή σημείων, ενώ δίνει την ίδια κατανομή πυκνότητας, όπως στα Σχ. 2α, 2β, έχει εντελώς διαφορετικά φάσματα. Ο αριθμός διαστολής σε μια τυχαία μεταβολή είναι άπειρος. Πράγματι, εφ’ όσον η τιμή του x είναι τυχαία, αυτό σημαίνει ότι το x΄ + ξ΄ έχει τυχαία τιμή στο τετράγωνο (1x1), δηλαδή το ξ΄ είναι πεπερασμένο και όχι απειροστό, ενώ το ξ λαμβάνεται σε απειροστή απόσταση από το x. Κατά συνέπεια ο λόγος ξ΄ /ξ είναι άπειρος και το a είναι άπειρο. Η κατανομή των αριθμών διαστολής a όταν το Κ γίνει πολύ μεγάλο (π.χ. Κ = 100) συγκεντρώνεται γύρω από ένα μέγιστο a, το οποίον τείνει στο άπειρο όταν το Κ τείνει στο άπειρο. Δηλαδή όταν το Κ→ ∞ οι αριθμοί διαστολής τείνουν στο άπειρο όπως σε μία τυχαία απεικόνιση.

Από το άλλο μέρος όμως όταν Κ→ ∞ η κατανομή των γωνιών τείνει σε δύο μέγιστα στις γωνίες 45ο και 135ο. Αντίθετα, σε μία τυχαία κατανομή οι γωνίες κατανέμονται τυχαία, δηλαδή δεν έχουν προτίμηση προς μία ορισμένοι τιμή. Η κατανομή η αντίστοιχη του Σχ. 2ε για μία τυχαία κατανομή είναι μία ευθεία παράλληλη προς τον άξονα y.

Επομένως ένα τυχαίο σύστημα δεν είναι ισσδύναμο με μία τυπική απεικόνιση ούτε όταν το Κ τείνει στο άπειρο.

Τα παραδείγματα που αναφέραμε δείχνουν ότι υπάρχουν ορισμένα χαρακτηριστικά των τυχαίων συστημάτων που προσεγγίζονται από δυναμικά συστήματα με μεγάλη παράμετρο μη γραμμικότητας. Ένα τέτοιο χαρακτηριστικό είναι η κατανομή πυκνοτήτων των σημείων στο τετράγωνο (1x1) των Σχ. 2α και 2β. Εν τούτοις άλλα χαρακτηριστικά των μη γραμμικών συστημάτων δεν αντιπροσωπεύονται από τυχαία συστήματα. Οι διαφορές δεν είναι μικρές ποσοτικές διαφορές, αλλά σημαντικές ποιοτικές διαφορές. Τα μη γραμμικά συστήματα έχουν στατιστικά χαρακτηριστικά πολύ διαφορετικά από τα τυχαία συστήματα.

 

6. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ

Η διάκριση μεταξύ χάους και τύχης έχει φιλοσοφικές προεκτάσεις. Υπήρξαν μερικοί, οι οπαίοι αμφισβήτησαν την ίδια την ύπαρξη των φυσικών νόμων και θέλησαν να τους αντικαταστήσουν με τους στατιστικούς νόμους των τυχαίων γεγονότων. Πράγματι όταν έχουμε πολλά τυχαία φαινόμενα, όπως στην κίνηση Brοwn, που περιγράψαμε στην αρχή του άρθρου μας, αυτά οδηγούν σε ορισμένες κανονικότητες, οι οποίες είναι στατιστικής φύσεως, και οι οποίες επαληθεύονται πειραματικά.

Αλλά η ύπαρξη τυχαίων γεγονότων δεν είναι αρκετή για να εξηγήσει τα περισσότερα φυσικά φαινόμενα, όπως είναι οι κινήσεις των πλανητών και των αστέρων, τα φαινόμενα του ηλεκτρομαγνητισμού ή τα φαινόμενα της ατομικής και πυρηνικής φυσικής και των στοιχειωδών σωματιδίων.

Αντίθετα η ύπαρξη τύχης δεν είναι ασυμβίβαστη με την αυστηρότητα των ντετερμινιστικών νόμων. Εκεί όπου υπάρχουν αστάθειες (ασταθείς ισορροπίες ή ασταθείς τροχιές) εμφανίζονται και τυχαία φαινόμενα που οφείλονται στις πολύ μικρές επιδράσεις του περιβάλλοντος, του εγγύς και του μακράν.

Εδώ ακριβώς επανέρχεται το βασικό «φιλοσοφικό» ερώτημα. Υπάρχουν πραγματικά τυχαία γεγονότα που δεν υπάγονται σε κανένα νόμο; Π.χ. στους υπολογιστές όταν θέλουμε ένα σύνολο τυχαίων αριθμών, στην πραγματικότητα χρησιμοποιούμε έναν αλγόριθμο που δίνει με απόλυτα ντετερμινιστικό νόμο τους λεγόμενους «ψευδοτυχαίους» αριθμούς. Π.χ. παίρνουμε το 100ό, 200ό, κλπ. ψηφίο του αριθμού π. Αυτοί οι αριθμοί είναι απολύτως καθορισμένοι, αλλά για κάθε πρακτική εφαρμογή φαίνονται ως τυχαίοι. Εν τούτοις δεν υπάρχει ένας αλγόριθμος ο οποίος να διακρίνει αν μία ακολουθία φαινομενικά τυχαίων αριθμών είναι πραγματικά τυχαία ή ψευδοτυχαία. Επομένως η διάκριση μεταξύ τυχαίων και εξαιρετικά πολύπλοκων συστημάτων δεν είναι εν γένει δυνατή.

Εξ άλλου απάντηση στο ερώτημα αν υπάρχουν πραγματικά τυχαία φαινόμενα δεν μπορεί να δοθεί με παρατηρήσεις. Πράγματι τα αίτια τα οποία προκαλούν την α ή β συμπεριφορά ενός συστήματος κοντά σε μία αστάθεια είναι τόσο πολλά και τόσο μικρά, ώστε είναι αδύνατον να παρατηρηθούν και να ελεγχθούν πειραματικά. Υπάρχουν επιπλέον ανυπέρβλητα όρια ακριβείας, που δίνονται από τις σχέσεις απροσδιοριστίας του Heisenberg, πέραν των οποίων δεν μπορούμε ούτε θεωρητικά να επεκτείνουμε τις μετρήσεις μας.

Επομένως στα φαινόμενα αυτά, κλασσικά ή κβαντικά, είναι προτιμότερο να χρησιμοποιηθεί μία στατιστική μέθοδος η οποία να βασίζεται σε πολλά τυχαία γεγονότα, και όχι στην αβέβαια εφαρμογή νόμων με πολλές απροσδιόριστες παραμέτρους.

Επειδή με το θέμα της διακρίσεως τυχαίων και ντετερμινιστικών γεγονότων συνδέεται πολλές φορές το πρόβλημα της ελευθερίας της βουλήσεως θα πρέπει να τονισθεί ότι η ελευθερία της βουλήσεως δεν είναι ένα τυχαίο γεγονός. Όταν ένας άνθρωπος αποφασίζει να κάνει το α και όχι το β δεν το κάνει αυτό ρίχνοντας ζάρια ή περιμένοντας να πέσει ένα νόμισμα κορώνα ή γράμματα. Λαμβάνει υπ’ όψιν του όλα τα υπάρχοντα στοιχεία υπέρ της α ή της β λύσεως και τότε αποφασίζει. Και είναι ελεύθερος αν δεν εξαναγκάζεται με τη βία να ακολουθήσει την α ή την β λύση. Η ελευθερία του συνίσταται σε μία συνειδητή εσωτερική διεργασία, κάτι που όλες οι μέχρι τώρα επιστημονικές έρευνες δεν έχουν κατορθώσει ακόμη να εξηγήσουν.

Το γεγονός ότι η στατιστική μέθοδος είναι χρήσιμη σε πολλά φυσικά φαινόμενα, και το ότι η μέθοδος αυτή είναι συμβατή με την ύπαρξη τυχαίων γεγονότων, δεν σημαίνει ότι η ακριβής περιγραφή δεν είναι ποτέ δυνατή, ούτε ότι η επί μακρά χρονικά διαστήματα συμπεριφορά των τροχιών, που υπάγονται σε αυστηρούς ντετερμινιστικούς νόμους είναι άχρηστη και περιττή.

Τα παραδείγματα που δώσαμε στο άρθρο μας αυτό, τόσο για τις οργανωμένες, όσο και για τις χαοτικές τροχιές δείχνουν ότι η μελέτη των τροχιών δίνει ορισμένα βασικά χαρακτηριστικά κάθε συστήματος. Ακόμη και σε πολύ μεγάλους χρόνους, οπότε η αβεβαιότητα των χαοτικών τροχιών είναι πολύ μεγάλη, πάλι οι στατιστικές μελέτες των χαοτικών τροχιών δίνουν αποτελέσματα πολύ διαφορετικά από ότι θα έδιναν οι τυχαίες τροχιές. Κατόπιν αυτών είναι περίεργο ότι υπάρχουν σήμερα ορισμένοι επιστήμονες, οι οποίοι κάνουν ακόμη σύγχυση μεταξύ χάους και τύχης και υποστηρίζουν ότι οι τροχιές είναι εν γένει άχρηστες στην περιγραφή των φυσικών φαινομένων. Μία τέτοια άποψη υποστήριξε πριν από λίγα χρόνια ο νομπελίστας Ilia Prigogine στο βιβλίο του «The end of certainty», Free Press, 1997.

Ο Prigogine κάνει διάκριση μεταξύ δύο τύπων τροχιών, ντετερμινιστικών τροχιών (deterministic tra jectories ) και τυχαίων τροχιών (random trajectories), οι οποίες ακολουθούν ακαθόριστη πορεία (wander erratically). Λόγω αυτής της αβεβαιότητος προτείνει να χρησιμοποιούμε, αντί τροχιών, κατανομές πιθανοτήτων. Είναι προφανές ότι οι απόψεις αυτές στηρίζονται σε δύο παρεξηγήσεις: (1) ότι οι χαοτικές τροχιές είναι τυχαίες και (2) ότι δεν μπορούμε να έχουμε περισσότερες πληροφορίες για αυτές από όσες μας δίνει μία κατανομή πιθανοτήτων.

Οι απόψεις αυτές του Ilia Prigogine απετέλεσαν το αντικείμενο αυστηρής κριτικής από τους ειδικούς. Έτσι ένας γνωστός ειδικός στα θέματα του χάους ο Per Bak σε μία βιβλιοκρισία του βιβλίου του Prigogine (New Scientist, 6 - 9 - 97, ρ. 42) έγραψε: «Η θεωρία του χάους υποστηρίζει την κλασσική άποψη, όχι αυτή του Prigogine». Και καταλήγει: «Κάθε τόσο υποβάλλονται προς δημοσίευση σε επιστημονικά περιοδικά «παράξενες» εργασίες (crackpot papers). Όταν όμως η ψευδοεπιστήμη παρουσιάζεται από ένα πολύ εκτιμώμενο χημικό με βραβείο Nobel, η βλάβη δεν είναι τόσο εύκολο να περιοριστεί».

Θα αγνοήσουμε λοιπόν τις «παράξενες» ιδέες του Prigogine και θα περιορισθούμε σ’ αυτά που μας διδάσκει η σύγχρονη θεωρία του χάους. Αυτή μας δίνει πλούσιες πληροφορίες για το χάος, τις οποίες δεν μπορεί να μας δώσει μία ασαφής εικόνα των φαινομένων τύχης.

Γ.ΚΟΝΤΟΠΟΥΛΟΣ
Ακαδημαϊκός
Αναδημοσίευση από το περιοδικό ΑΚΤΙΝΕΣ